Πέμπτη, 3 Απριλίου 2014

Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Πρότυπα Πειραματικά Σχολεία



Μια σύντομη ανακοίνωση που ίσως να σας ενδιαφέρει. Σε λίγες μέρες (11-12 Απριλίου 2014) θα διεξαχθεί ένα συνέδριο με θέμα τα Μαθηματικά στα Πρότυπα και Πειραματικά Σχολεία. Η σελίδα του συνεδρίου είναι εδώ. Σύμφωνα με την ανακοίνωση των διοργανωτών τα επιμέρους θέματα που θα συζητηθούν στο Συνέδριο είναι:

1.   Αναβάθμιση του επίπεδου τεκμηρίωσης των Μαθηματικών στο Αναλυτικό Πρόγραμμα για τα Π.Π.Σ. Ποιος θα πρέπει να είναι ο ρόλος της απόδειξης (π.χ. στη Γ τάξη των Γυμνασίων), η χρήση των λογισμικών ως μορφών τεκμηρίωσης, άλλες μορφές επαλήθευσης κλπ.

2.   Το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών για τα Π.Π.Σ.

3.   Εφαρμογές των Μαθηματικών.

4.   Μορφές και τρόποι σύνδεσης των Μαθηματικών που διδάσκονται στα Π.Π.Σ. με τα άλλα μαθήματα, διάχυση της μαθηματικής κουλτούρας και στις υπόλοιπες εκπαιδευτικές δραστηριότητες.

5.   Η διδασκαλία της Γεωμετρίας.

6.   Πώς τα Π.Π.Σ. αναπτύσσουν και αναδεικνύουν τις ικανότητες στα Μαθηματικά των ταλαντούχων μαθητών τους;

7.   Ο ρόλος των Ομίλων Μαθηματικών των Π.Π.Σ.

8.   Δραστηριότητες επιμόρφωσης των μαθηματικών των άλλων σχολείων στο χώρο των Π.Π.Σ.

9.   Διασυνδέσεις και δίκτυο μεταξύ των Π.Π.Σ.

10. Η σύνδεση των Π.Π.Σ. με τα Μαθηματικά Τμήματα των Πανεπιστημίων και Πολυτεχνείων της χώρας.

11. Καταγραφή των χαρακτηριστικών του μαθητή των Π.Π.Σ.
 
Περισσότερα μετά το συνέδριο.

Τετάρτη, 18 Σεπτεμβρίου 2013

Έρευνα για τις εφαρμογές των Μαθηματικών



Δε ξέρω τι εικόνα έχετε εσείς για τις σύγχρονες συσκευές υπερήχων αλλά εγώ έμεινα άφωνος από την απεικονιστική τους ικανότητα. Γνώριζα ότι πλέον είναι ικανοί να παράγουν εικόνες όπου απεικονίζεται ανάγλυφα το έμβρυο. Πρόσφατα όμως διαπίστωσα έκπληκτος ότι π.χ. μπορούν να διακρίνουν τη ροή του αίματος μέσα στο έμβρυο!

Γιατί τα αναφέρω όλα αυτά; Μα γιατί είναι μια από τις περιπτώσεις που φαίνεται πόσο σημαντικά είναι τα μαθηματικά! Η βελτίωση αυτών των συσκευών στηρίζεται εν πολλοίς στη βελτίωση των μαθηματικών μας γνώσεων. Αποτελεί δε μια από τις περιπτώσεις όπου τα μαθηματικά στην κυριολεξία σώζουν ζωές. (Να αναφέρω εδώ ότι ένας από τους διακεκριμένους επιστήμονες αυτού του πεδίου είναι ο έλληνας Αθ. Φωκάς)

Πιστεύω ότι, ειδικά, στη δύσκολή περίοδο όπου ζούμε θα ήταν πάρα πολύ χρήσιμο να αναδείξουμε και άλλες περιπτώσεις όπου η εφαρμογή των μαθηματικών βελτιώνει τη ζωή μας. Προσωπικά πιστεύω ότι η πολυπόθητη έξοδος από την κρίση θα έρθει κυρίως μέσα από την επιστημονική και τεχνολογική ανάπτυξη της χώρας. Μια ανάπτυξη που για να επιτευχθεί θα πρέπει να έχει, κατά τη γνώμη μου, ως έναν από τους βασικούς της πυλώνες τα μαθηματικά. Επίσης έρχεται να απαντήσει στο ερώτημα αρκετών μαθητών, αλλά και άλλων μελών της κοινωνίας μας ‘’σε τι χρησιμεύουν όλα αυτά τα μαθηματικά;’’. Είναι απαραίτητο να τονίσουμε τη χρησιμότητα της επιστήμης μας σε μια εποχή που ακούγονται διάφορες φωνές αμφισβήτησής της.

Στα πλαίσια αυτά θα ενδιαφερόμουν να μάθω και να προβάλω οποιαδήποτε τέτοια περίπτωση πιο πολύ δε αν αυτή γίνεται στην Ελλάδα. Μπορείτε να αφήσετε μήνυμα στη σχετική φόρμα επικοινωνίας στο κάτω μέρος της σελίδας.

Υ.Γ. Να ευχαριστήσω την ομάδα του Eureka Module για όμορφο banner.

Τετάρτη, 14 Αυγούστου 2013

Στηρίζουμε τη διδασκαλία της Πληροφορικής

Ίσως θα έχετε μάθει ότι ανάμεσα στις προτάσεις του υπουργείου παιδείας για το νέο λύκειο είναι η ουσιαστική κατάργηση του μαθήματος της πληροφορικής (προτείνεται η προαιρετική διδασκαλία του ως μαθήματος επιλογής για 2 ώρες την εβδομάδα στην Α λυκείου μόνο).

Ως μαθηματικός θεωρώ ότι η πληροφορική προσφέρει την ευκαιρία να παρουσιαστεί ένας ιδιαίτερος τρόπος σκέψης και αντιμετώπισης προβλημάτων που είναι γενικότερα χρήσιμος. Η σχέση των μαθηματικών με την πληροφορική είναι στενή (σε σημείο μάλιστα που αρκετές φορές τα όρια  μεταξύ της επιστήμης των μαθηματικών και της πληροφορικής είναι ασαφή) και άκρως παραγωγική. Η πληροφορική μπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης. Μπορεί επίσης να τεκμηριώσει την ανάγκη της μελέτης των μαθηματικών αφού μαθηματικά εργαλεία και μέθοδοι χρησιμοποιούνται κατά κόρον στην πληροφορική. Τα ονόματα των Turing, Kleene, Church και von Newmann, Shannon, Shamir, Diffie, Hellman μεταξύ άλλων θα πρέπει να μας λένε πολλά.

Ως έλληνας πολίτης απορώ πως θα βγούμε από την κρίση, θα έχουμε ανάπτυξη και γενικότερα θα πορευτούμε στο μέλλον ως χώρα και κοινωνία χωρίς πληροφορική.

Αν θέλετε δηλώστε την υποστήριξη σας στον ακόλουθο σύνδεσμο.
 ΟΧΙ στην εξαφάνιση της Πληροφορικής από το Λύκειο Petition | GoPetition

Παρασκευή, 5 Ιουλίου 2013

Πανελλήνιες 2013

Όπως και την προηγούμενη χρονιά έτσι και φέτος θα δημοσιεύσω τις προβλέψεις μου για τη βάση εισαγωγής, μερικών, σχολών. Σχετικά με τις περσινές προβλέψεις μπορείτε να διαβάσετε σε παλαιότερη ανακοίνωση του blog ή να δείτε κάποιο γενικό σχολιασμό σε αυτήν τη σελίδα.

Προς το παρόν έχω μερικές μόνο σχολές και σταδιακά θα προσθέτω και άλλες. Η σελίδα www.e-pitixia.gr/panellinies/exams2013.html θα ανανεώνεται λίγο πιο συχνά και μέσω αυτής θα βρείτε και ένα σύνδεσμο για μια σελίδα στο facebook με ακόμα πιο συχνή ανανέωση (ε, ας πάρω κι εγώ κανένα like). 

Να ξαναπώ εδώ ότι η διαδικασία τη εκτίμησης της βάσης κάθε σχολής δεν είναι απλή υπόθεση. Για παράδειγμα φέτος δούλευα για τρεις μέρες ώστε να περάσω κάποια επιπλέον δεδομένα στον υπολογιστή. Η ελπίδα μου ήταν ότι αυτά θα βοηθούσαν να βελτιώσω τις εκτιμήσεις μου. Όταν όμως τα χρησιμοποίησα για να εκτιμήσω τις βάσεις του 2012 (έτσι κάνω μια αξιολόγηση της εκάστοτε μεθόδου: δεν της δίνω τη βάση της προηγούμενης χρονιάς, ζητάω μια εκτίμηση της και συγκρίνω το αποτέλεσμα με την πραγματική) διαπίστωσα ότι οι εκτιμήσεις ήταν χειρότερες από πριν! Και αυτό με επιπλέον δεδομένα! Συμβαίνουν αυτά... Ίσως μου δοθεί η ευκαιρία να γράψω αναλυτικότερα κάποια στιγμή.

Φέτος οι επιδόσεις των υποψηφίων, στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης κυρίως, ήταν χαμηλές ως αποτέλεσμα των ιδιαίτερα δύσκολων θεμάτων. Έτσι, από τα αποτελέσματα βλέπουμε μια μικρή πτώση στις υψηλόβαθμες πολυτεχνικές σχολές και μια μεγαλύτερη στις σχολές με μεσαία βάση εισαγωγής. Στις ιατρικές σχολές αναμένεται πτώση 100 με 200 μονάδες.

Ακολουθούν οι εκτιμήσεις.
Να τονίσω και πάλι ότι δε φέρω καμία ευθύνη για τυχόν αστοχίες ή λάθη. Η μέθοδος εξακολουθεί να είναι σε πειραματικό στάδιο. Κατά τη γνώμη μου είναι μεγάλο λάθος να συμπληρώσει κάποιος υποψήφιος το μηχανογραφικό του βασιζόμενος στις εκτιμήσεις για την πορεία των βάσεων.


ΣχολήΠαλιά ΒάσηΔιάστημα ΕκτίμησηςΜια τιμή*
Ιατρικής Αθήνας19170από 19046 έως 1910719054
Ιατρικής Θεσ/νίκης19003από 18830 έως 1889118837
Ιατρικής Ιωαννίνων18698από 18397 έως 1849318451
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΕΜΠ18914από 18727 έως 1882818741
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεσσ.18314από 18027 έως 1815118054
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας17600από 17103 έως 1734517176
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θράκης (Ξάνθη)16520από 15392 έως 1577515567
Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ18184από 17859 έως 1809517861
Μαθηματικών Αθήνας15945από 15006 έως 1545015319
Μαθηματικών Θεσσαλονίκης16157από 15753 έως 1609416038
Μαθηματικών Ιωαννίνων13853από 13005 έως 1334813119
Μαθηματικών Αιγαίου (Σάμος)12471από 11305 έως 1179411623
Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο)12833από 11731 έως 1187411762
Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ15861από 15025 έως 1539815153
Φυσικής Αθήνας16399από 15704 έως 1597315913
Φυσικής Θεσσαλονίκης15626από 14918 έως 1536315285
Φυσικής Ιωαννίνων13930από 12773 έως 1320512994
Χημείας Αθήνας16852από 16320 έως 1675816359
Χημείας Θεσσαλονίκης15806από 15256 έως 1584315547
Πληροφορικής Οικ. Παν. Αθ.15537από 14447 έως 1486414728
Πληροφορικής κ Τηλεπικοινωνιων Αθήνας16829από 16246 έως 1655416316
Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων Γεωπονικού Παν. Αθήνας16225από 15202 έως 1552715269
Με την υποστήριξη του www.e-pitixia.gr
Δείτε τις Βάσεις και στη σελίδα μας στο facebook.


Τρίτη, 18 Ιουνίου 2013

Πλανόδιοι πωλητές, ταχυδρόμοι και μυρμήγκια.

Ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα των μαθηματικών, αλλά και της πληροφορικής, είναι το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή:

Δοθέντος ενός καταλόγου με πόλεις και τις μεταξύ τους αποστάσεις να σχεδιαστεί μια διαδρομή η οποία να ξεκινά από μια πόλη και να επιστρέφει σε αυτή έχοντας περάσει από κάθε άλλη πόλη ακριβώς μια φορά και η οποία έχει το μικρότερο μήκος.

Είναι φανερό ότι ένα τέτοιο πρόβλημα προκύπτει, με διάφορες παραλλαγές, αρκετά συχνά. για παράδειγμα, πρόσφατα διάβαζα ότι η εταιρεία UPS σκοπεύει να αναβαθμίσει το λογισμικό που χρησιμοποιεί για να σχεδιάσει τις διαδρομές που ακολουθούν οι υπάλληλοί της. (Το σχετικό άρθρο μπορείτε να το διαβάσετε εδώ.) 

Travelling salesman movie
Όπως θα δείτε και στο παραπάνω άρθρο το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή είναι τρομερά δύσκολο να επιλυθεί με τις ως τώρα υπάρχουσες μεθόδους. Ένας υπάλληλος της UPS με 25 πακέτα προς παράδοση έχει 15 τρισεκατομμύρια διαδρομές! Το πρόβλημα αυτό ανήκει σε μια κατηγορία προβλημάτων, τα λεγόμενα πλήρη NP προβλήματα, για τα οποία εικάζεται ότι δεν υπάρχει "γρήγορος" αλγόριθμος που να τα επιλύει. Η εικασία αυτή είναι μια από τις πιο διάσημες εικασίες των μαθηματικών και ίσως η πιο διάσημη εικασία της πληροφορικής. Είναι δε επικυρηγμένη για 1 εκατομμύριο δολάρια από το Clay math institute! Επίσης, υπάρχει και μια ταινία με το τίτλο "Travelling salesman" η οποία διηγείται την ιστορία μιας ομάδας μαθηματικών που έχει προσλάβει η αμερικανική κυβέρνηση για να λύσουν το πρόβλημα αυτό.

Για να δείτε την πρακτική σημασία που έχει η επίλυση του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή παρατηρήστε ότι αν κάθε υπάλληλος της UPS κάνει ένα παραπάνω μίλι κάθε μέρα, τότε το συνολικό της κόστος είναι 30 εκατομμύρια δολάρια το χρόνο. Συνεπώς, έχουν αναπτυχθεί πολλές μέθοδοι που προσπαθούν να δώσουν μια ικανοποιητική απάντηση στο πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή.

Για να αναφερθώ σε μια από αυτές να πω ότι υπάρχει μια που χρησιμοποιεί μια φανταστική αποικία μυρμηγκιών για να βρει μια λύση. Με τη μέθοδο αυτή ουσιαστικά αναπαριστάται η τακτική των μυρμηγκιών να αφήνουν πίσω τους ένα ίχνος φερορμόνης που εξατμίζεται με την πάροδο του χρόνου με αποτέλεσμα η μικρότερη διαδρομή να έχει μεγαλύτερη συγκέντρωση από τις άλλες. Οι συντομότερες διαδρομές έχουν μεγαλύτερη συγκέντρωση και έτσι προτιμούνται. Με την πάροδο του χρόνου, ελπίζεται, ότι θα παραμείνει η πιο σύντομη από όλες. Περισσότερα, όμως, για αυτή και άλλες μεθόδους βασισμένες στη βιολογία σε κάποιο άλλο άρθρο.

Υ.Γ. Και μια ερώτηση. Άραγε στην Ελλάδα υπάρχει κάποιος (δημόσιος οργανισμός, ιδιωτική εταιρεία ή άλλος) που να ασχολείται με το πρόβλημα της εύρεσης της μικρότερης διαδρομής; για παράδειγμα, τα ΕΛΤΑ και τα συνεργεία καθαριότητας κάθε δήμου θα είχαν άμεσα οφέλη από την ελαχιστοποίηση των διαδρομών που κάνουν. Φοβάμαι, όμως, ότι στη χώρα είναι η εφαρμογή των μεθόδων μαθηματικής βελτιστοποίησης απέχει έτη φωτός. Κι ας διδάσκεται στα ελληνικά πανεπιστήμια εδώ και δεκαετίες...

Παραπομπές:
  1. Το άρθρο του περιοδικού wired  για τη UPS.
  2. Η σελίδα της wikipedia  για το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (στα αγγλικά). Εκεί θα βρείτε και παραπομπή στη μέθοδο επίλυσης του με την αποικία μυρμηγκιών.
  3. Η επίσημη σελίδα της ταινίας "Travelling salesman".

Παρασκευή, 14 Ιουνίου 2013

Η χρήση της θεωρίας των πρώτων αριθμών στην κωδικοποίηση

Σίγουρα όλοι μας έχουμε ακούσει για τους πρώτους αριθμούς και για το πως στη σημερινή εποχή χρησιμοποιούμε πανίσχυρους υπολογιστές για να μεγαλώσουμε το “κατάλογο” με τους ήδη γνωστούς πρώτους αριθμούς. Επίσης σίγουρα αρκετοί από εμάς θα σκεφτήκαμε ότι αν και αυτή η αναζήτηση είναι ενδιαφέρουσα δεν έχει καμία πρακτική εφαρμογή. ’Όμως τα πράγματα δεν είναι έτσι. Η αναζήτηση πρώτων αριθμών (και η ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων) έχει εφαρμογή στην κρυπτογραφία.
Ας δούμε αρχικά έναν απλό τρόπο κωδικοποίησης. ’Έστω ότι έχουμε ένα αλφάβητο με m γράμματα (εδώ για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι m=3) και μια λέξη π.χ. ΓΑΤΑ. Αντιστοιχούμε σε κάθε γράμμα έναν αριθμό
στο Α τον αριθμό 1
στο Γ τον αριθμό 2
στο Τ τον αριθμό 3
Έτσι η λέξη ΓΑΤΑ μεταφράζεται στην ακολουθία αριθμών 2,1,3,1
Επιλέγουμε έναν αριθμό n (με n>m) και ένα αριθμό r σχετικά πρώτο με το n (εδώ επιλέγουμε η=5,r=3).’Έστω a ένας όρος της ακολουθίας, πολλαπλασιάζουμε τον a με τον r και παίρνουμε το υπόλοιπο του γινομένου αr ως προς n. ’Έτσι στο συγκεκριμένο παράδειγμα η ακολουθία γίνεται 6,3,9,3 αν πολλαπλασιαστεί με το 3 και αν πάρουμε το υπόλοιπο ως προς 5 έχουμε 1,3,4,3
Αν θέλουμε να αποκωδικοποιήσουμε το μήνυμα αρκεί να βρούμε έναν αριθμό p τέτοιο που το γινόμενο pr να έχει υπόλοιπο ένα όταν διαιρεθεί με το n (επειδή (n,r)=1 δηλ. είναι σχετικά πρώτοι ένας τέτοιος αριθμός σίγουρα υπάρχει).
Για το παράδειγμα μας είναι p=2 αφού pr=23=6=5+1.
Τώρα αν πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της κωδικοποιημένης ακολουθίας με το p και πάρουμε το υπόλοιπο το γινομένου ως προς n έχουμε την αρχική ακολουθία.
Έτσι η ακολουθία 1,3,4,3 γίνεται 2,6,8,6 όταν πολλαπλασιαστεί με το 2 και παίρνοντας τα υπόλοιπα ως προς 5 έχουμε 2,1,3,1 που αντιστοιχεί στη λέξη ΓΑΤΑ.
Το πρόβλημα είναι όμως ότι αυτός που κάνει την κωδικοποίηση ξέρει αυτόματα πως να αποκωδικοποιήσει τα μηνύματα.Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με τη χρήση μιας μεθόδου χάρη στην οποία είναι πρακτικά αδύνατα σε όποιον κάνει την κωδικοποίηση να κάνει και την αποκωδικοποίηση.Τη μέθοδο αυτή επινόησαν οι Ronald L.Rivest,Adi Shamip,Leonard Adleman και παρουσιάστηκε σε μια εργασία τους το 1977.
  • Το αρχικό βήμα αυτής της μεθόδου είναι το ίδιο με προηγουμένως: αντιστοιχούμε τα γράμματα μιας λέξης (ή πρότασης) σε αριθμούς.
  • Επιλέγουμε 2 πρώτους αριθμούς p,q και υπολογίζουμε το γινόμενό τους m=pq και εδώ θέλουμε το m να είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των γραμμάτων που έχουμε (για το ίδιο παράδειγμα επιλέγουμε p=3, q=5)
  • Μετά βρίσκουμε 2 αριθμούς c,d τέτοιους ώστε το γινόμενο τους να αφήνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθεί με τον (p-1)(q-1)
{εδώ (p-1)(q-1)=(3-1)(5-1)=8 άρα αν c=d=3 τότε cd= q= 8+1= (p-1)(q-1)+1}
Τώρα μπορούμε να ανακοινώσουμε τους αριθμούς m και c . Όποιος θέλει να κωδικοποιήσει ένα μήνυμα αρκεί να το μετατρέψει σε μαι ακολουθία αριθμών , κάθε όρο της να τον υψώσει στην c και να πάρει το υπόλοιπο του ως προς m.
Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε την ακολουθία: 2,1,3,1
υψώνοντας κάθε φορά στην 3 παίρνουμε: 8,1,27,1
και άρα τα υπόλοιπα ως προς 15 είναι η ακολουθία: 8,1,12,1
  • Για την αποκωδικοποίηση αρκεί να υψώσουμε κάθε όρο της κωδικοποιημένης ακολουθίας στην d=3 και αν πάρουμε το υπόλοιπο του ως προς n=15 έτσι έχουμε διαδοχικά :
512, 1, 1758, 1 αν υψώσουμε στην 3 και
2, 1, 3, 1 αν πάρουμε το υπόλοιπο ως προς 15.
Το σημαντικό στην παραπάνω διαδικασία είναι ότι αν τα p,q είναι μεγάλα τότε είναι πολύ δύσκολο να βρεθούν αν γνωρίζουμε μόνο το n και επομένως είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί και ο αριθμός d που είναι απαραίτητος για την αποκωδικοποίηση. Ο Rivest υπολόγισε ότι αν ο n είναι ένας αριθμός με 125 ή 126 ψηφία ο οποίος προέκυψε από 2 πρώτους με 63 ψηφία τότε για να αναλυθεί ο n σε γινόμενο πρώτων παραγόντων θα χρειαζόντουσαν περίπου 10 τετράκις εκατομμύρια χρόνια.
Σχεδιάγραμα κρυπτογράφησης δημοσίου κλειδειού. Εικόνα από το wikimedia commons.
Παράρτημα
Ορισμός: γράφοντας a =b modn εννοούμε ότι ο a όταν διαιρεθεί με το n αφήνει το ίδιο υπόλοιπο με τον b
Ισχύει ότι αν (r,n)=1 δηλαδή είναι σχετικά πρώτοι τότε υπάρχει k ώστε : rk=1 modn
Άρα αν a είναι ένας αριθμός που αντιστοιχεί σ’ ένα γράμμα μιας λέξης για να τον κωδικοποιήσουμε τον πολλαπλασιάζουμε μ’ έναν αριθμό r τέτοιο ώστε (r,n)=1. Για να κάνουμε την αποκωδικοποίηση αρκεί να πολλαπλασιάσουμε με τον αντίστοιχο αριθμό k έτσι έχουμε:
(ar) k=a(rk)=a1=amodn 
Επίσης από το θ.Fermat έχουμε ότι αν (a,n)=1 τότε aφ(n)=1modn, όπου φ(n) η συνάρτηση του Euler (αν n=pq όπου p,q πρώτοι τότε φ(n)= (p-1)(q-1))
Επομένως αν n=pq και cd=λφ(n)+1 τότε για να κωδικοποιήσουμε τον όρο a τον υψώνουμε στην c και παίρνουμε b=acmod, ενώ για να τον αποκωδικοποιήσουμε υψώνουμε τον b στην d:
 bd=(ac)d= acd =aλφ(n)+1=aλφ(n) a=(aφ(n))λa=1λa=1a=amodn