Τετάρτη, 5 Αυγούστου 2015

Θεωρία Παιγνίων


Με αφορμή τον πρώην υπουργό οικονομικών κ. Γιάνη Βαρουφάκη και την εξειδίκευση του στη θεωρία παιγνίων είναι ίσως ευκαιρία να πούμε λίγα πράγματα για αυτόν τον κλάδο των Μαθηματικών. (Αρκετοί βέβαια θα ισχυριστούν ότι η θεωρία παιγνίων δεν είναι κλάδος των Μαθηματικών αλλά αυτό είναι μια άλλη ιστορία…)
          Σύμφωνα με τη Wikipedia [1] η θεωρία παιγνίων είναι η μελέτη μαθηματικών μοντέλων σύγκρουσης και συνεργασίας μεταξύ λογικών οντοτήτων. Βρίσκει εφαρμογές μεταξύ άλλων στην βιολογία, τις πολιτικές επιστήμες, την πληροφορική, τη  ψυχολογία και βεβαίως τα οικονομικά. Στη μοντέρνα εκδοχή της ξεκίνησε από ένα άρθρο του John von Neumann [2] σχετικά με τις συνθήκες ισορροπίας παιχνιδιών μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δύο παικτών.
          Παίγνια μηδενικού αθροίσματος είναι μοντέλα καταστάσεων όπου τα κέρδη μιας πλευράς ισούνται με τη χασούρα των υπολοίπων. Μη σας μπερδεύει ο όρος ‘’παίγνιο’’. Με τη λέξη αυτή μπορεί να εννοούμε από την απλή τρίλιζα έως τα σενάρια πολέμου μεταξύ ΗΠΑ – ΕΣΣΔ που σχετίζονταν με την επιβίωση ολόκληρου του ανθρώπινου είδους!
Ένα οποιοδήποτε παίγνιο βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας όταν κανένας από τους παίκτες δεν έχει συμφέρον να διαφοροποιήσει τη στρατηγική του. Δηλαδή αν υποθέσουμε ότι παίζουμε ένα τέτοιο παίγνιο τότε έχουμε κατάσταση ισορροπίας αν εμένα δεν με συμφέρει να αλλάξω στρατηγική τι στιγμή που εσείς θα διατηρήσετε την ίδια και αντίστροφα εσείς δεν έχετε συμφέρον να αλλάξετε στρατηγική αν εγώ δεν αλλάξω τη δική μου. Στο παράδειγμα των δύο (πρώην) υπερδυνάμεων ούτε οι ΗΠΑ ούτε η ΕΣΣΔ είχαν συμφέρον να μειώσει η κάθε μια μονομερώς το πυρηνικό της οπλοστάσιο. Αυτό που λέμε ισορροπία του τρόμου. Στα δικά μας, ένας από τους λόγους που η Ελλάδα δεν απέκτησε πυρηνική βόμβα είναι γιατί τότε θα αποκτούσε και η Τουρκία και θα άρχιζε έτσι μια κούρσα πυρηνικού εξοπλισμού.
Η ύπαρξη ενός τέτοιου σημείου (ή κατάστασης αν προτιμάτε) ισορροπίας έχει αποδειχτεί από τον John von Neumann για τα παίγνια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δύο παικτών στο άρθρο που αναφέραμε πριν. Αποδείχτηκε για οποιοδήποτε παίγνιο με πεπερασμένο πλήθος δράσεων για κάθε παίκτη από τον John Forbes Nash το 1951. Για το έργο του αυτό πήρε το βραβείο Νόμπελ Οικονομικών το 1978. Η ιστορία του έγινε διάσημη από την ταινία ‘’A Beautiful Mind’’ (‘’Ένας Υπέροχος Άνθρωπος’’)  όπου τον υποδύθηκε ο Russell Crowe.
          Έως σήμερα έντεκα ειδικοί της θεωρίας παιγνίων έχουν κερδίσει το Νόμπελ Οικονομικών. Ο τελευταίος το 2014. Είναι ένας τρόπος για να πάρουν και οι μαθηματικοί το Νόμπελ (αν και για να λέμε την αλήθεια το βραβείο αυτό δεν είναι ακριβώς Νόμπελ, μια συζήτηση που δεν είναι του παρόντος)!   

Βιβλιογραφία
2.            Neumann, J. v. (1928), "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele", Mathematische Annalen 100 (1): 295–320, doi:10.1007/BF01448847 English translation: Tucker, A. W.; Luce, R. D., eds. (1959), "On the Theory of Games of Strategy", Contributions to the Theory of Games 4, pp. 13–42

Παρασκευή, 24 Ιουλίου 2015

Βαθμολογία υποψηφίων πανελληνίων στα Μαθηματικά



Στο άρθρο αυτό έχουμε λίγα στατιστικά για την επίδοση των υποψηφίων στα Μαθηματικά (Γενικής και Κατεύθυνσης) στις Πανελλήνιες εξετάσεις κατά τα έτη 2004-2015. Έτσι μεταξύ άλλων μπορούν να απαντηθούν και κάποια ερωτήματα όπως:
·        ποιες χρονιές είχαν τα πιο δύσκολα θέματα,
·        η επίδοση των μαθητών έχει διακυμάνσεις,
·  η επίδοση στα μαθηματικά επηρεάζει τη βάση σχολών όπως το Μαθηματικό Αθηνών;

Στο παρακάτω γράφημα βλέπουμε την εξέλιξη του μέσου όρου της βαθμολογίας των υποψηφίων για τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας και τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης για τα έτη 2004-2015. 
Είναι αμέσως ορατό ότι το 2013 είχαμε ένα Βατερλό των υποψηφίων μιας και τη χρονιά αυτή είχαν την χειρότερη επίδοση στα δύο αυτά μαθήματα. Ο μέσος όρος βαθμολογίας για τα Μαθηματικά Γενικής ήταν 10,83 ενώ για τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 8,77. Αντίστοιχα χαμηλές επιδόσεις στα Μαθηματικά Γενικής ήταν το 2005 με μέσο όρο 10,88 και το 2015 με 10,87. Η δεύτερη χαμηλότερη επίδοση στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης ήταν το 2008 με μέσο όρο 9,66. Σε αντίθεση δηλαδή με τα Μαθηματικά Γενικής στην κατεύθυνση έχουμε σχεδόν μια μονάδα διαφορά μεταξύ των δύο χαμηλότερων επιδόσεων!

Η υψηλότερη βαθμολογία για τα Μαθηματικά Γενικής είναι 13,72 το 2009 ενώ για τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 12,1 το 2010.
Στο επόμενο γράφημα φαίνεται και η εξέλιξη της βάσης εισαγωγής του Μαθηματικού Αθήνας. Το σχήμα αυτό δείχνει να ενισχύει τον ισχυρισμό ότι η επίδοση των μαθητών στα δύο αυτά μαθήματα επηρεάζει και την πορεία της βάσης της σχολής αυτής. Είναι φανερό δε ότι με αυτήν τη λογική περιμένουμε πτώση στη βάση αυτής της σχολής.

Όσον αφορά τα περιγραφικά στατιστικά στοιχεία έχουμε:

Κατεύθυνση
Γενική
Μέσος
10,503
12,090
Τυπική απόκλιση
0,966
1,038
95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο
(9.890,11.117)
(11.431, 12.749)

Ο συντελεστής συσχέτισης των βαθμολογιών είναι 0,435 δηλαδή έχουμε μια μέτρια γραμμική συσχέτιση.
Περισσότερα σε επόμενη ανάρτηση...

Δευτέρα, 13 Ιουλίου 2015

Πανελλήνιες 2015 - Εκτιμήσεις βάσεων εισαγωγής

e-pitixiaΠιο κάτω έχω και κάποιες εκτιμήσεις σχετικά με τις βάσεις.
 Προσοχή η διαδικασία  δεν είναι ακριβής. Η όποια χρήση των εκτιμήσεων γίνεται ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΜΕ ΔΙΚΗ ΣΑΣ ΕΥΘΎΝΗ. Υπάρχουν αρκετοί αστάθμητοι παράγοντες στην όλη διαδικασία. Για τον παραπάνω λόγο θα μου συγχωρέσετε που φέτος το εύρος που δίνω είναι σε πολλές περιπτώσεις μεγάλο.

Σταδιακά θα ανακοινώνουμε και εκτιμήσεις για άλλες σχολές. Η μέχρι τώρα επεξεργασία δείχνει πτώση των βάσεων ως συνέπεια της χαμηλότερης επίδοσης των φετινών υποψηφίων σε κομβικά μαθήματα.
ΣχολήΠαλιά ΒάσηΔιάστημα ΕκτίμησηςΜια τιμή*
Ιατρικής Θεσσαλονίκης19122από 18793 έως 198718909
Ιατρικής Ιωαννίνων18855από 18446 έως 1853918518
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΕΜΠ19072από 18746 έως 1899818867
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεσσ.17767από 18138 έως 18319 18267
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας18013από 17417 έως 1759717497
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θράκης (Ξάνθη)17278από 16064 έως 1682116338
Μαθηματικών Αθήνας15794Οι προβλέψεις για τα τμήματα Μαθηματικών βρίσκονται στο ιστολόγιο lisari
Μαθηματικών Θεσσαλονίκης16324
Μαθηματικών Αιγαίου12471
Μαθηματικών Ιωαννίνων12993
Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο)11908από 11596 έως 1251612044
Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ15951από 15362 έως 1622115789
Φυσικής Αθήνας16795από 15849 έως 1588315877
Φυσικής Θεσσαλονίκης16501από 15114 έως 1518515151
Φυσικής Ιωαννίνων14024από 13080 έως 1361513300
Χημείας Αθήνας17086από 15777 έως 1598015849
Χημείας Θεσσαλονίκης15540από 16317 έως 1648916405
Χημείας Ιωαννίνων15444από 13914 έως 1428214090
Πληροφορικής Οικ. Παν. Αθ.15820από 14736 έως 1568715428
Πληροφορικής κ Τηλεπικοινωνιων Αθήνας17221από 16424 έως 1716816727
Πληροφορικής Πειραιά15255από 14173 έως 1504414572
Επιστήμης Τροφίμων και Διατροφής του Ανθρώπου Γεωπονικού Παν. Αθήνας15448από 14611 έως 1588515209
Δείτε περισσότερες Βάσεις και στη σελίδα μας στο facebook. (Να κερδίσουμε και κανένα like χεχε)

Ευχαριστώ και τη Eureka Module για την υποστήριξη που μου παρέχει.

Δευτέρα, 18 Μαΐου 2015

Θεωρία Μαθηματικών Κατεύθυνσης

Σε αυτό το άρθρο παρουσιάζω κάποιες εικόνες/στατιστικά σχετικά με το πρώτο θέμα πανελληνίων των Μαθηματικών Κατεύθυνσης για τα έτη 2004-2014. Τα στοιχεία αφορούν τις αποδείξεις, ορισμούς και διατυπώσεις θεωρημάτων. Δεν αφορούν το τι ζητήθηκε στο θέμα πολλαπλής επιλογής.

Στην πρώτη εικόνα βλέπουμε τον αριθμό εμφανίσεων κάθε κεφαλαίου. Γίνεται διαχωρισμός για το αν ζητήθηκε απόδειξη, ορισμός ή διατύπωση θεωρήματος. Βλέπουμε ότι το κεφάλαιο "Διαφορικός Λογισμός" έχει τα πρωτεία.

 
Στη δεύτερη εικόνα έχουμε μια πιο λεπτομερή ανάλυση για το ποιά κεφάλαια έχουν ζητηθεί στις Πανελλήνιες. Με αρνητικό αριθμό συμβολίζουμε κεφάλαια από το 1ο μέρος (Άλγεβρα) του βιβλίου. Δηλ. το -2,3 αντιστοιχεί στο κεφάλαιο "Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού".
Ακολουθεί ένας πίνακας που έχει το συνολικό αριθμό εμφανίσεων κάθε κεφαλαίου ανεξάρτητα με το εάν έχει ζητηθεί ως απόδειξη, διατύπωση θεωρήματος ή ορισμός.

Τέλος, έχουμε ένα διάγραμα που απεικονίζει τη διαχρονική πορεία του 1ου υποερωτήματος, δηλ. της απόδειξης που έχει ζητηθεί.
Ως γενικό συμπέρασμα έχουμε ότι το κεφάλαιο "Διαφορικός Λογισμός" έχει ζητηθεί τις περισσότερες φορές, πράγμα φυσιολογικό μιας και είναι το μεγαλύτερο σε έκταση. Ειδικότερα, το κεφάλαιο 2.9 "Ασύμπτωτες - Κανόνας De L' Hospital", λόγω των ορισμών που περιέχει, κατέχει τα πρωτεία. Αν περιοριστούμε στις αποδείξεις υπερέχει το κεφάλαιο 2.6 "Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής".

Δευτέρα, 2 Μαρτίου 2015

Σεμινάριο Υπολογιστικής Τοπολογίας


Και μια ανακοίνωση που ίσως να ενδιαφέρει κάποιους. 
Για την παρακολούθηση του σεμιναρίου δεν απαιτείται η γνώση αλγεβρικής τοπολογίας.


Σεμινάριο υπολογιστικής τοπολογίας

Στόχος
Σκοπός του σεμιναρίου είναι να παρουσιάσει τις πρόσφατες εξελίξεις εφαρμογής της τοπολογίας για την επίλυση διάφορων προβλημάτων κυρίως για στην ανάλυση δεδομένων, στην κάλυψη δικτύων αισθητήρων και τα δίκτυα τηλεπικοινωνιών.

Πλάνο
·        Εισαγωγή
·        Complexes
o   Simplicial complexes
o   Cech complexes
o   Vietoris – Rips complexes
o   Alpha Complexes
·        Ομολογία
·        Persistence Homology

Σε κάθε φάση και όπου αυτό είναι δυνατό θα δίνονται και εφαρμογές των εννοιών που παρουσιάζονται.
Αν υπάρχει ενδιαφέρον και χρόνος μπορεί να προστεθεί επιπλέον υλικό προς παρουσίαση.

Ενδεικτική Βιβλιογραφία
1.     G. Carlsson, “Topology and Data”, Bull. Amer. Math. Soc. 46 (2009), 255-308.
2.     H. Edelsbrunner, J. L. Harrer, “Computational Topology”, AMS, 2010.
3.     D. Panagopoulos, S. Hassapis, “A Short Exposition of Topological Applications to Security Systems”, Applications of Mathematics and Informatics to Science and Engineering, Springer, 2014.
4.   S. Weinberger, “What is Persistent Homology?”, Notices of the AMS Vol. 58 N. 1 (2011), 36-39.

Έναρξη:
Παρασκευή 6 Μαρτίου 11:00
Αίθουσα: A11   Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ 

Παρασκευή, 18 Ιουλίου 2014

Πανελλήνιες 2014 - Εκτιμήσεις βάσεων εισαγωγής

e-pitixiaΠιο κάτω έχουμε και κάποιες εκτιμήσεις σχετικά με τις βάσεις.
 Προσοχή η διαδικασία βρίσκεται σε πειραματικό στάδιο και δεν είναι ακριβής ακόμα. Η όποια χρήση των εκτιμήσεων γίνεται ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΜΕ ΔΙΚΗ ΣΑΣ ΕΥΘΎΝΗ.
Θα θέλαμε να σημειώσουμε εδώ ότι οι εκτιμήσεις μας για τις βάσεις περιλαμβάνουν λίγες σχολές γιατί η επεξεργασία και η εκτίμηση της βάσης εισαγωγής γίνεται ξεχωριστά για κάθε σχολή. Είναι δε μια χρονοβόρα διαδικασία. Θα θέλαμε επίσης να σημειώσουμε ότι υπάρχουν αρκετοί αστάθμητοι παράγοντες στην όλη διαδικασία.

Σταδιακά θα ανακοινώνουμε και εκτιμήσεις για άλλες σχολές. Από τη μέχρι τώρα ανάλυση προκύπτει όντως σημαντική άνοδος των βάσεων. Στις σχολές ενδιάμεσης βαθμολογίας δε αναμένεται η φετινή βάη να ξεπεράσει ακόμα και αυτή του 2012 και να προσεγγίσει τα επίπεδα του 2011.
ΣχολήΠαλιά ΒάσηΔιάστημα ΕκτίμησηςΜια τιμή*
Ιατρικής Θεσσαλονίκης18680από 18972 έως 1914119037
Ιατρικής Ιωαννίνων18250από 18701 έως 188318796
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΕΜΠ18471από 18818 έως 1895718884
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεσσ.17767από 18321 έως 1849418340
Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ17225από 18099 έως 1845018141
Μαθηματικών Αθήνας15331από 16308 έως 1661216386
Μαθηματικών Θεσσαλονίκης15449από 16240 έως 1652016366
Μαθηματικών Αιγαίου11282από 13631 έως 1375013675
Μαθηματικών Ιωαννίνων12993από 14745 έως 1492714869
Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο)11262από 13501 έως 1414013776
Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ15212από 16291 έως 1668716446
Φυσικής Αθήνας16171από 16712 έως 1680816749
Χημείας Αθήνας15186από 16215 έως 1688916634
Χημείας Θεσσαλονίκης15540από 16317 έως 1648916405
Χημείας Ιωαννίνων14408από 15367 έως 1543915381
Πληροφορικής Οικ. Παν. Αθ.14926από 16317 έως 1642515381
Επιστήμης Τροφίμων και Διατροφής του Ανθρώπου Γεωπονικού Παν. Αθήνας15073από 16069 έως 1661216340
Δείτε περισσότερες Βάσεις και στη σελίδα μας στο facebook.

Ευχαριστώ και τη Eureka Module για την υποστήριξη που μου παρέχει.